人はなぜ円周率に惹かれるのか バージョン2
＊この記事は、「ライティング・ゼミ」にご参加のお客様に書いていただいたものです。
人生を変えるライティング教室「天狼院ライティング・ゼミ」〜なぜ受講生が書いた記事が次々にバズを起こせるのか？賞を取れるのか？プロも通うのか？〜
記事：山岡達也（ライティング・ゼミ超通信コース）
円周率は小学校の算数で教わった。
円周の長さの公式である、円周率×直径＝円周の長さを変形すれば、円周率を定義できる。この式は頭の中でもイメージしやすいし、紙に図で書いて説明することも容易だ。
数学で出てくる定数の中で、円周率というのは数学の世界以外でも話題になることがある。ゆとり教育に批判的な人達の中には、小学校の算数で円周率の近似値を3とするのはけしからんという人達がいる。その一方で、小学校の算数の分野で、他に批判の対象になったものを、皆さんは記憶しているだろうか。
教育の世界の中でも、円周率が話題になることがある。
ネットニュースでも載っていたのだが、円周率の近似値がどこまで計算されているのかご存じだろうか。答えは62兆8千億桁、想像を絶する数だ。
そして、計算は今でも続いていると思われる。そのうち、新しい結果が報道されるだろう。
一方で、数学には他にも知られている定数、例えば自然対数eのようなものもあるが、その近似値の計算結果の世界記録を検索しても、結果が出てこない。
円周率の記憶の世界記録は、11万桁と聞いている。これはネットで容易に検索できる。昔のことだが、円周率の任意の桁の数値を記録保持者に出題して、その正否を問うシーンをテレビ番組で見たことがある。全ての問いに対して正解であったと記憶している。ギネス記録でなくても、円周率を100桁まで記憶する方法はネットで探すことができる。
それでは、話が少し飛ぶが、√2の近似値を覚えておられるだろうか。√2の語呂合わせは比較的知られていている。しかし、√2の記憶の世界記録が何桁とか、100桁まで√2を記憶する方法については、ネットで探しても出てない。
数学や算数というのは、教科の中では嫌われる割合が高いと聞く。それでも、円周率は特別な扱いを受けているように思われる。それでは、一体、人はどうして円周率に惹かれるのだろうか。
今回の記事では、その謎に迫るために、まずは円周率の計算の歴史から紹介してみたい。
ネットで検索するだけでも、円周率の計算の歴史に関する情報は、容易に手に入る。
近似値の計算方法には、図形を使う方法と、計算式を使う方法の2通りに大きく分類できる。大雑把に言うと、17世紀以前は図形を使う方法で近似値を計算して、それ以降は計算式を使っている。
図形を使う方法は、イメージとしては理解しやすい。
例えば、円周率の整数部分が3であることを証明しよう。
円柱の直径と周囲の長さを測って計算すれば簡単に計算できることだが、ここが全ての出発点だ。これは小学校の算数レベルで説明できる。
円周率が3以上であることを証明するには、円の中に、内接する正六角形を描けばよい。内接するというのは、正六角形の6つの頂点が円周上になるように描く。そうすると、その正六角形の一辺の長さは、円の半径と一致するはずである。そして、正六角形の外周の長さを合計すると、正三角形の一辺の長さの6倍、つまり、円の半径の6倍、これは円の直径の3倍である。これは、円周の長さよりは若干短いはずであるので、円周率が3よりも大きい事が示された。
一方、円周率が4以下であることを示すには、図形の面積を比較する事で可能だ。
円に外接するように、正方形を描いてみる。そんな正方形を作図するには、一辺の長さが円の直径と同じにすればよい。
そして、円と正方形の面積を計算する。正方形の面積は、円の直径の自乗、つまり円の半径の自乗の4倍になる。これは円の面積である半径の自乗×円周率よりも大きいので、このことから、円周率は4未満であることが示された。
こうして、円周率の整数部分が3であることが示された。
小学校では円周率の近似値を3として教えても構わないということだったらしい。筆者としては、円周率の近似値を3にしてもいいけれど、先のことを考えると、近似値の計算方法を授業で教えて置く必要があると考える。
それでは、図形を使う方法で、何桁まで円周率を近似できたのだろうか。
正12角形を使った計算では、円周率を小数点1桁まで近似することができる。これは高校数学の範囲内だ。これよりも少し緩い条件であるが、東京大学の入試問題で、円周率が3.05以上であることを証明せよという問題が出題された。これは円に内接する正八角形の辺の長さを計算すればよい。
アルキメデスが計算した結果、円周率は7分の22よりも小さいということがわかった。これは小数点以下2桁、つまり、3.14まではあっている。この近似値を計算するには、正96角形の一辺の長さを計算する必要があった。
6世紀に中国の祖沖之という学者が計算した近似値は、小数点以下7桁まであっていた。これには、正25476角形が必要であり、作図も計算も大変だ。それ以降、近似値の桁数は1000年以上更新されなかったという。
オランダのルドルフは、円周率の計算に生涯を捧げたというが、17世紀には、小数点以下35桁までたどりついたそうだ。それには、正226角形、つまり正6710886角形の辺の長さを計算しなければならなかった。歴史上の記録では、図形を使った方法でこれ以上の精度の計算は存在しない。
これ以上の精度で円周率の近似値を計算するには、計算式が必要となるが、そのためには無限というものを数学で扱えるようにする必要がある。それには、微分、積分の知識が必要だ。私たちにもおなじみのニュートンや、ライプニッツという科学者が17世紀に考案し、19世紀に完成した分野だ。こうして、円周率の計算はさらに進んで、近似値の精度が上がっていった。
それでは、円周率の計算方法を説明したいところだが、話は簡単ではない。近似値を小数点以下2桁まで計算するだけでも、大学入試レベルの難易度のため、この記事で紹介することは、どんな方針で近似値を計算したのかを簡単に触れるぐらいしかできない。それくらい計算が複雑なのだ。
例えば、円周率を小数点以下3桁まで近似する方法は、大阪大学の入試問題で出題されたことがある。この計算を行うには、図形の場合とは違い、受験生にいきなり計算式を要求するのはできない。従って、この問題は2つの小問に分かれており、前段階で積分の不等式を証明して、その不等式を使って円周率の近似値を計算して、最終的には円周率が3.141以上3.142未満であることを証明する問題だ。
この問題の解法をネット上の動画で観たことがあるが、近似値の計算がややこしい。円周率の近似値の計算には√3の近似値を使うが、それが小数点以下7桁で与えられている。計算式が複雑なうえに、小数点以下7桁の数字を扱うので、少しでも気を緩めると、計算ミスにより正しい解答が得られない可能性が高い。現に、正解者は1人だったらしい。
大学入試でこのような難問が出題されるのかと誤解を招きかねないので、受験生に不安を与えないように補足説明すると、実は、この問題は挑戦枠という一般入試とは別枠での出題であり、数学に特別に秀でた学生を選抜するのが目的だったらしい。
後に、埼玉大学の入試で円周率の近似値を3.14まで計算する問題が出題された。大阪大学の入試問題に比べて易しいとは言え、難易度は高く、計算もそれなりに複雑だ。
円周率の計算は、19世紀には小数点以下500桁まで到達していた。それでは、この計算は一体どこまで続くのだろうか。延々と続いているようで、どこかで終わるのだろうか。実は、円周率は割り切れない。しかし、それが示されたのは1881年のことだ。円周率の計算の長い歴史の中では、140年といえばつい最近の事のように思われる。
20世紀に入ると、計算機が使用されるようになって、近似値の計算が加速度的に進んだ。記事の最初の方で紹介したように、現在の世界記録は62兆8千億桁だ。
それでは、どうして人はそこまで円周率に惹かれるのだろうかという、問題の核心に触れてみたい。
一つは、円周率の定義はシンプルでわかりやすいことだ。
円周率は、円周の長さ＝直径×円周率という、小学校の授業で習うシンプルな計算式で示される。頭の中でイメージしても、紙に書いてもわかりやすい。一方、√2というのは中学校の数学で出てくるのだが、頭の中でイメージしたり、図に描いてみたりするのは、円周率に比べてわかりにくい。ましてや、高校の数学で学習する自然対数となると、イメージしたり紙に図示するのはむずかしい。
その一方で、円周率の奥が深い。
過去の数学者の計算の歴史をストーリーとして語れるのは、筆者の知る範囲では円周率ぐらいだ。それも、2000年以上の歴史が存在し、今も新しいストーリーが積み重ねられている。
そして、その計算の歴史は、図形を使うにしろ計算式にしろ、高校数学のレベルで説明が可能であり、円周率の計算式を提示することもできる。数学に興味のある生徒にとって、円周率が計算式で示されるのは、世界の重大な秘密を解いたのと同じくらいの興奮を覚えたに違いない。ところが、高校数学のレベルで定義できる数式では、簡単な近似値を計算するのに莫大な計算量が必要となり、近似値を求めるには時間がかかりすぎて実用的ではない。これを知ったら、世界の秘密を一旦は手にしたものの、結局は手をすり抜けて逃げていくような感覚、それはまるで難攻不落の指名手配犯をあと一息で逃したのと同じ落胆の気持ちを味わったかも知れない。
こうして、円周率の表の顔は小学生でもわかるやさしいものだが、その裏に隠されている闇は深い。小説や漫画に例えると、一見すると、みんながよく知っている登場人物が普段は凡人しかみえないのに、裏では正義の味方で人知れず悪と戦っているような設定に似ている。あるいは、数学が嫌いな人から見たら、普段は凡人のくせに裏では悪事を働いている極悪人のようにも見えるかもしれない。これは、ストーリーの設定としてはよく使われている。そう考えると、人が円周率に惹かれるのには理由があると、筆者はそう結論づけたい。
＊＊＊
この記事は、天狼院書店の大人気講座・人生を変えるライティング教室「ライティング・ゼミ」を受講した方が書いたものです。ライティング・ゼミにご参加いただくと記事を投稿いただき、編集部のフィードバックが得られます。チェックをし、Web天狼院書店に掲載レベルを満たしている場合は、Web天狼院書店にアップされます。
人生を変えるライティング教室「天狼院ライティング・ゼミ」〜なぜ受講生が書いた記事が次々にバズを起こせるのか？賞を取れるのか？プロも通うのか？〜
お問い合わせ
■メールでのお問い合わせ：お問い合せフォーム
■各店舗へのお問い合わせ
＊天狼院公式Facebookページでは様々な情報を配信しております。下のボックス内で「いいね！」をしていただくだけでイベント情報や記事更新の情報、Facebookページオリジナルコンテンツがご覧いただけるようになります。
■天狼院書店「東京天狼院」
〒171-0022 東京都豊島区南池袋3-24-16 2F
TEL：03-6914-3618／FAX：03-6914-0168
営業時間：
平日 12:00〜22:00／土日祝 10:00〜22:00
＊定休日：木曜日（イベント時臨時営業）
■天狼院書店「福岡天狼院」
〒810-0021 福岡県福岡市中央区今泉1-9-12 ハイツ三笠２階
TEL：092-518-7435／FAX：092-518-4149
営業時間：
平日 12:00〜22:00／土日祝 10:00〜22:00
■天狼院書店「京都天狼院」
〒605-0805 京都府京都市東山区博多町112-5
TEL：075-708-3930／FAX：075-708-3931
営業時間：10:00〜22:00
■天狼院書店「Esola池袋店 STYLE for Biz」
〒171-0021 東京都豊島区西池袋1-12-1 Esola池袋2F
営業時間：10:30〜21:30
TEL：03-6914-0167／FAX：03-6914-0168
■天狼院書店「プレイアトレ土浦店」
〒300-0035 茨城県土浦市有明町1-30 プレイアトレ土浦2F
営業時間：9:00～22:00
TEL：029-897-3325
